Dicas úteis

Solução gráfica de equações, desigualdades

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Um dos métodos mais convenientes para resolver desigualdades quadradas é o método gráfico. Neste artigo, examinaremos como as desigualdades quadradas são resolvidas graficamente. Primeiro, discutimos qual é a essência desse método. E então damos um algoritmo e consideramos exemplos de resolução de desigualdades quadradas de maneira gráfica.

Navegação na página.

A essência do método gráfico

Geralmente maneira gráfica de resolver desigualdades com uma variável, é usada não apenas para resolver desigualdades quadradas, mas também desigualdades de outros tipos. A essência do método gráfico para resolver as desigualdades o seguinte: considere as funções y = f (x) e y = g (x), que correspondem aos lados esquerdo e direito da desigualdade, plote seus gráficos em um sistema de coordenadas retangular e descubra em que intervalos o gráfico de um deles é mais baixo ou mais alto que o outro. Essas lacunas em que

  • o gráfico da função f acima do gráfico da função g são soluções da inequação f (x)> g (x),
  • um gráfico de uma função f não inferior a um gráfico de uma função g são soluções da inequação f (x) ≥g (x),
  • o gráfico da função f abaixo do gráfico da função g são soluções da inequação f (x),
  • um gráfico de uma função f não superior a um gráfico de uma função g são soluções da desigualdade f (x) ≤g (x).

Também dizemos que as abscissas dos pontos de interseção dos gráficos das funções f e g são soluções da equação f (x) = g (x).

Transferimos esses resultados para o nosso caso - para resolver a desigualdade quadrática a · x 2 + b · x + c (≤,>, ≥).

Introduzimos duas funções: a primeira y = a · x 2 + b · x + c (neste caso, f (x) = a · x 2 + b · x + c) corresponde ao lado esquerdo da inequação quadrada, a segunda y = 0 (neste caso, g (x) = 0) corresponde ao lado direito da desigualdade. Horário função quadrática f é uma parábola e o gráfico função permanente g é uma linha que coincide com o eixo de abcissas Ox.

Além disso, de acordo com o método gráfico de resolução de desigualdades, é necessário analisar em que intervalos o gráfico de uma função está localizado acima ou abaixo da outra, o que nos permitirá escrever a solução desejada para a desigualdade quadrada. No nosso caso, precisamos analisar a posição da parábola em relação ao eixo Ox.

Dependendo dos valores dos coeficientes a, bec, são possíveis as seguintes seis opções (uma representação esquemática é suficiente para nossas necessidades, e o eixo Oy pode ser omitido, pois sua posição não afeta a solução da desigualdade):



Neste desenho, vemos uma parábola cujos galhos são direcionados para cima e que cruza o eixo Ox em dois pontos cujas abscissas são x1 e x2 . Este desenho corresponde ao caso em que o coeficiente a é positivo (é responsável pela direção ascendente dos ramos da parábola) e quando o valor é positivo discriminante de um trinômio quadrado a · x 2 + b · x + c (o trinômio tem duas raízes, que designamos como x1 e x2 e aceitamos que x1 , já que no eixo Ox um ponto com uma abcissa x1 à esquerda do ponto x2 ) Se você deseja detalhes, construa a parábola y = x 2 −x - 6, seu coeficiente a = 1> 0, D = b 2 −4 · a · c = (- 1) 2 −4 · 1 · (−6) = 25> 0, x1= −2, x2=3 .

Para maior clareza, vamos descrever em vermelho as partes da parábola localizadas acima do eixo da abcissa e em azul - localizadas abaixo do eixo da abcissa.

Agora descobrimos quais lacunas correspondem a essas partes. O desenho a seguir ajudará a determiná-los (no futuro, desenharemos mentalmente alocações semelhantes na forma de retângulos):

Portanto, no eixo da abcissa, duas lacunas foram destacadas em vermelho (−∞, x1) e (x2, + ∞), neles uma parábola é maior que o eixo Ox, eles formam a solução da desigualdade quadrática a · x 2 + b · x + c> 0, e a diferença (x1, x2), tem uma parábola abaixo do eixo Ox, é uma solução da desigualdade a · x 2 + b · x + c. As soluções das desigualdades quadradas não estritas a · x 2 + b · x + c≥0 e a · x 2 + b · x + c≤0 serão os mesmos intervalos, mas os números x devem ser incluídos neles1 e x2 correspondente à igualdade a · x 2 + b · x + c = 0.

E agora brevemente: para a> 0 e D = b 2 −4 · a · c> 0 (ou D '= D / 4> 0 para um coeficiente par b)

  • a solução da inequação quadrática a · x 2 + b · x + c> 0 é (−∞, x1) ∪ (x2, + ∞) ou em outra notação x, x> x2 ,
  • resolvendo a desigualdade quadrática um2+ b · x + c≥0 é (−∞, x1] ∪ [x2, + ∞) ou em outra notação x≤x1 , x≥x2 ,
  • a solução da inequação quadrática a · x 2 + b · x + c é (x1, x2) ou em outra entrada x1 ,
  • a solução da inequação quadrada a · x 2 + b · x + c≤0 é [x1, x2] ou em outra entrada x1≤x≤x2 ,

onde x1 e x2 As raízes do trinômio quadrado são a · x 2 + b · x + ce ex1 .



Aqui vemos uma parábola cujos galhos são direcionados para cima e que tocam o eixo da abcissa, isto é, tem um ponto em comum, denotamos a abcissa desse ponto por x0 . O caso apresentado corresponde a> 0 (os ramos são direcionados para cima) e D = 0 (o trinômio quadrado tem uma raiz x0 ) Por exemplo, podemos tomar a função quadrática y = x 2 −4 · x + 4, aqui a = 1> 0, D = (- 4) 2 −4 · 1 · 4 = 0 ex0=2 .

O desenho mostra claramente que a parábola está localizada acima do eixo Ox em todos os lugares, exceto no ponto de tangência, ou seja, nos intervalos (−∞, x0), (x0,). Para maior clareza, selecionamos as áreas do desenho por analogia com o parágrafo anterior.

Tiramos conclusões: para a> 0 e D = 0

  • a solução da inequação quadrática a · x 2 + b · x + c> 0 é (−∞, x0) ∪ (x0, + ∞) ou em outra notação x ≠ x0 ,
  • a solução da desigualdade quadrática a · x 2 + b · x + c≥0 é (−∞, + ∞) ou em outra notação x∈R,
  • a desigualdade quadrada a · x 2 + b · x + c não tem soluções (não há intervalos nos quais a parábola está localizada abaixo do eixo Ox),
  • a desigualdade quadrada a · x 2 + b · x + c≤0 tem uma solução única x = x0 (fornece um ponto de contato)

onde x0 é a raiz do trinômio quadrado a · x 2 + b · x + c.



Nesse caso, os ramos da parábola são direcionados para cima e não possuem pontos em comum com o eixo da abcissa. Aqui temos as condições a> 0 (os galhos são direcionados para cima) e D (o trinômio quadrado não tem raízes reais). Por exemplo, podemos plotar a função y = 2 x 2 +1, aqui a = 2> 0, D = 0 2 −4 · 2 · 1 = −8.

Obviamente, a parábola está localizada acima do eixo Ox ao longo de todo o seu comprimento (não há intervalos nos quais está abaixo do eixo Ox, não há ponto de tangência).

Assim, para a> 0 e D, a solução das inequações quadradas a · x 2 + b · x + c> 0 e a · x 2 + b · x + c≥0 é o conjunto de todos os números reais e as desigualdades a · x 2 + b · x + c e a · x 2 + b · x + c≤0 não têm soluções.

E ainda existem três opções para a localização da parábola com os galhos direcionados para baixo, e não para cima, em relação ao eixo Ox. Em princípio, eles podem não ser considerados, pois multiplicar os dois lados da desigualdade por -1 nos permite passar para a desigualdade equivalente com um coeficiente positivo em x 2. Mas, ainda assim, não custa ter uma idéia sobre esses casos. O raciocínio aqui é semelhante, por isso escrevemos apenas os principais resultados.



Para a e D> 0

  • a solução da inequação quadrática a · x 2 + b · x + c> 0 é (x1, x2) ou em outra entrada x1 ,
  • a solução da inequação quadrada a · x 2 + b · x + c≥0 é [x1, x2] ou em outra entrada x1≤x≤x2 ,
  • a solução da inequação quadrática a · x 2 + b · x + c é (−∞, x1) ∪ (x2, + ∞) ou em outra notação x, x> x2 ,
  • a solução da inequação quadrática a · x 2 + b · x + c≤0 é (−∞, x1] ∪ [x2, + ∞) ou em outra notação x≤x1, x≥x2 ,

onde x1 e x2 As raízes do trinômio quadrado são a · x 2 + b · x + ce ex1 .



Para a e D = 0

  • a desigualdade quadrada a · x 2 + b · x + c> 0 não tem soluções,
  • a desigualdade quadrada a · x 2 + b · x + c≥0 tem uma solução única x = x0 ,
  • a solução da inequação a · x 2 + b · x + c é (−∞, x0) ∪ (x0, + ∞) ou em outra notação x ≠ x0 ,
  • a solução da desigualdade quadrática a · x 2 + b · x + c≤0 é o conjunto de todos os números reais (−∞, + ∞) ou em outra notação x∈R,

onde x0 é a raiz do trinômio quadrado a · x 2 + b · x + c.



Para a e D, as inequações quadradas a · x 2 + b · x + c> 0 e a · x 2 + b · x + c≥0 não têm soluções e, resolvendo as desigualdades a · x 2 + b · x + c e a · X 2 + b · x + c≤0 é o conjunto de todos os números reais.

Algoritmo de decisão

O resultado de todos os cálculos anteriores é algoritmo para resolver graficamente as desigualdades quadradas:

No plano de coordenadas, é realizado um desenho esquemático, no qual o eixo Ox é representado (o eixo Oy é opcional) e um esboço da parábola correspondente à função quadrática y = a · x 2 + b · x + c. Para construir um esboço de uma parábola, basta descobrir dois pontos:

  • Primeiro, pelo valor do coeficiente a, verifica-se para onde suas ramificações são direcionadas (para um> 0 - para cima, para um - para baixo).
  • E segundo, o valor do discriminante do trinômio quadrado a · x 2 + b · x + c revela se a parábola cruza o eixo da abcissa em dois pontos (para D> 0), toca em um ponto (em D = 0) ou não tem pontos em comum com o eixo Ox (para D). Por conveniência, as coordenadas dos pontos de interseção ou a coordenada do ponto de tangência (se esses pontos estiverem presentes) são indicadas no desenho, e os próprios pontos são mostrados perfurados ao resolver desigualdades estritas ou comuns ao resolver desigualdades não estritas.

Quando o desenho estiver pronto, na segunda etapa do algoritmo

  • ao resolver a desigualdade quadrada a · x 2 + b · x + c> 0, os intervalos são determinados nos quais a parábola está localizada acima da abcissa,
  • ao resolver a desigualdade a · x 2 + b · x + c≥0, os intervalos são determinados nos quais a parábola está localizada acima do eixo das abcissas e as abcissas dos pontos de interseção (ou as abcissas do ponto de tangência) são adicionadas a eles,
  • ao resolver a desigualdade a · x 2 + b · x + c, existem lacunas nas quais a parábola está abaixo do eixo Ox,
  • finalmente, ao resolver uma desigualdade quadrada da forma a · x 2 + b · x + c≤0, existem lacunas nas quais a parábola está abaixo do eixo Ox e as abscissas dos pontos de interseção (ou a abscissa do ponto de tangência) são adicionadas a elas,

eles constituem a solução desejada para a desigualdade quadrada e, se não houver tais lacunas e não houver pontos de tangência, a desigualdade quadrada original não terá soluções.

Resta apenas resolver algumas desigualdades quadradas usando esse algoritmo.

A essência do método gráfico

O método é aplicável para resolver quaisquer desigualdades, não apenas as quadradas. Sua essência é a seguinte: os lados direito e esquerdo da desigualdade são considerados duas funções separadas y = f (x) e y = g (x), seus gráficos são construídos em um sistema de coordenadas retangulares e examinam qual dos gráficos está localizado acima do outro e quais intervalos. As lacunas são estimadas da seguinte forma:

  • as soluções da inequação f (x)> g (x) são os intervalos em que o gráfico da função f é maior que o gráfico da função g,
  • as soluções da desigualdade f (x) ≥ g (x) são os intervalos em que o gráfico de f não é menor que o gráfico de g,
  • as soluções da inequação f (x) g (x) são os intervalos em que o gráfico da função f é menor que o gráfico da função g,
  • as soluções da desigualdade f (x) ≤ g (x) são os intervalos em que o gráfico de f não é superior ao gráfico de g,
  • as abscissas dos pontos de interseção dos gráficos das funções f e g são soluções da equação f (x) = g (x).

Considere o algoritmo acima usando um exemplo. Para fazer isso, pegue a desigualdade quadrada a · x 2 + b · x + c 0 (≤,>, ≥) e derive dela duas funções. O lado esquerdo da desigualdade corresponderá a y = a · x 2 + b · x + c (nesse caso, f (x) = a · x 2 + b · x + c) e y = 0 (nesse caso, g (x) = 0)

O gráfico da primeira função é uma parábola, a segunda é uma linha reta que coincide com o eixo x. Vamos analisar a posição da parábola em relação ao eixo O x. Para isso, realizamos um desenho esquemático.

Solução com duas raízes em um trinômio quadrático

Os ramos da parábola são direcionados para cima. Atravessa o eixo x em pontos x 1 e x 2 . O coeficiente a nesse caso é positivo, pois é ele quem é responsável pela direção dos ramos da parábola. O discriminante é positivo, indicando a presença de duas raízes no quadrado trinomial a x 2 + b x x c . As raízes do trinômio que designamos como x 1 e x 2 e aceitou que x 1 x 2 , já que um ponto com uma abcissa é representado no eixo O x x 1 à esquerda do ponto de abscissa x 2 .

As partes da parábola localizadas acima do eixo O x são indicadas em vermelho, abaixo - em azul. Isso nos permitirá tornar a imagem mais visual.

Selecione os espaços que correspondem a essas partes e marque-os na figura com campos de uma determinada cor.

Marcamos em vermelho as lacunas (- ∞, x 1) e (x 2, + ∞), nelas uma parábola acima do eixo O x. Eles são a solução da desigualdade quadrática a · x 2 + b · x + c> 0. Marcamos em azul o intervalo (x 1, x 2), que é uma solução para a desigualdade a · x 2 + b · x + c 0. Os números x 1 e x 2 corresponderão à igualdade a · x 2 + b · x + c = 0.

Vamos fazer um breve registro da solução. Para a> 0 e D = b 2 - 4 · a · c> 0 (ou D '= D 4> 0 para um coeficiente par b) obtemos:

  • a solução da inequação quadrática a · x 2 + b · x + c> 0 é (- ∞, x 1) ∪ (x 2, + ∞) ou em outra notação x x 1, x> x 2,
  • a solução da inequação quadrática a · x 2 + b · x + c ≥ 0 é (- ∞, x 1] ∪ [x 2, + ∞) ou, em outra notação, x ≤ x 1, x ≥ x 2,
  • a solução da desigualdade quadrática a · x 2 + b · x + c 0 é (x 1, x 2) ou em outra notação x 1 x x 2,
  • a solução da desigualdade quadrada a · x 2 + b · x + c ≤ 0 está em outra notação x 1 ≤ x ≤ x 2,

onde x 1 e x 2 são as raízes do trinômio quadrado a · x 2 + b · x + ce ex 1 x 2.

Uma solução de raiz única para um trinômio quadrático

Nesta figura, a parábola toca o eixo O x em apenas um ponto, indicado como x 0 . Os ramos da parábola são direcionados para cima, o que significa que a> 0 . D = 0 portanto, o trinômio quadrado tem uma raiz x 0 .

A parábola está localizada completamente acima do eixo O x, exceto pelo ponto de contato do eixo de coordenadas. Denotamos por cor os intervalos (- ∞, x 0), (x 0, ∞).

Registre os resultados. At a> 0 e D = 0 :

  • resolvendo a desigualdade quadrada a x 2 + b x x c> 0 é (- ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) ou em outra notação x ≠ x 0 ,
  • resolvendo a desigualdade quadrada a x 2 + b x x c ≥ 0 é ( − ∞ , + ∞ ) ou em outra notação x ∈ R,
  • desigualdade quadrada a x 2 + b x x c 0 não tem soluções (sem intervalos nos quais a parábola está localizada abaixo do eixo O x ),
  • desigualdade quadrada a x 2 + b x x c ≤ 0 tem a única solução x = x 0 (fornece um ponto de contato)

onde x 0 - raiz do trinômio quadrado a x 2 + b x x c .

A solução de um trinômio quadrado sem raiz

Vamos considerar o terceiro caso, quando os ramos da parábola são direcionados para cima e não tocam o eixo O x . Os ramos da parábola são direcionados para cima, o que significa que a> 0 . O trinômio quadrado não tem raízes reais, pois D 0 .

Não há intervalos no gráfico em que a parábola esteja abaixo do eixo da abcissa. Levaremos isso em consideração ao escolher uma cor para o nosso desenho.

Acontece que com a> 0 e D 0 resolvendo desigualdades quadradas a x 2 + b x x c> 0 e a x 2 + b x x c ≥ 0 é o conjunto de todos os números reais e desigualdades a x 2 + b x x c 0 e a x 2 + b x x c ≤ 0 não tem soluções.

Precisamos considerar três opções quando os ramos da parábola são direcionados para baixo. Essas três opções não podem ser paradas em detalhes, pois quando multiplicamos os dois lados da desigualdade por - 1, obtemos uma desigualdade equivalente com um coeficiente positivo em x 2.

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Durante a lição, você poderá estudar independentemente o tópico "Solução gráfica de equações, desigualdades". O professor da lição analisará os métodos gráficos para resolver equações e desigualdades. Ele ensinará como criar gráficos, analisá-los e obter soluções para equações e desigualdades. A lição também abordará exemplos específicos sobre este tópico.

Tópico: Funções Numéricas

Lição: Solução gráfica de equações, desigualdades

1. Tópico da lição, introdução

Examinamos gráficos de funções elementares, incluindo gráficos de funções de potência com diferentes expoentes. Também examinamos as regras para mudar e transformar gráficos de funções. Todas essas habilidades devem ser aplicadas quando necessário. gráficoa decisão equações ou gráfico a decisãodesigualdades.

2. Resolvendo graficamente equações e desigualdades

Exemplo 1. Resolva graficamente a equação:

Construímos os gráficos de funções (Fig. 1).

Gráfico de funções

O gráfico da função é uma linha reta, nós a construímos de acordo com a tabela.

Os gráficos se cruzam em um ponto que diminui monotonamente, o que significa que seu ponto de interseção é único.

A resposta é:

Exemplo 2. Resolva a desigualdade

a.

b.

a. Para satisfazer a desigualdade, o gráfico da função

b. Nesse caso, pelo contrário, parábola

a.

b.

Exemplo 3. Resolva a desigualdade

Construímos os gráficos de funções (Fig. 2).

Encontre a raiz da equação.

Então essa desigualdade se mantém.

A resposta é:

Exemplo 4. Resolva a desigualdade graficamente:

a.

b.

Âmbito:

Construímos os gráficos de funções (Fig. 3).

a. Gráfico de funções

b. Gráfico de funções

a.

b.

3. Conclusão

Examinamos o método gráfico para resolver equações e desigualdades, examinamos exemplos específicos, na resolução da qual usamos propriedades de funções como monotonicidade e paridade.

Lista de leitura recomendada

1. Mordkovich A.G. e outras células da álgebra 9: livro didático. Para educação geral. Instituições - 4ª ed. - M .: Mnemozin, 2002.-192 p.

2. Mordkovich A.G. Álgebra da 9ª série: Livro de problemas para estudantes de instituições de ensino geral / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina e outros - 4ª ed. - M .: Mnemosine, 2002.-143 p .: III.

3. Makarychev Yu. N. Álgebra. 9º ano: livro didático. para estudantes do ensino geral. instituições / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7a ed., Rev. e adicione - M .: Mnemosine, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Álgebra Grade 9. 16a ed. - M., 2011 - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. Grade 9. Às 2 horas, Parte 1. Um livro didático para estudantes de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12a ed. - M.: 2010. - 224 p .: III.

6. Álgebra. Grade 9. Em 2 horas, parte 2. Um quebra-cabeças para estudantes de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, L. A. Alexandrova, T. N. Mishustina e outros, Ed. A. G. Mordkovich. - 12a ed., Rev. - M.: 2010.-223 p.: Doente.

Links de Internet recomendados

1. College.ru seção sobre matemática (fonte).

2. Projeto de Internet "Tarefas" (fonte).

3. Portal educacional "EU RESOLVO o exame" (Fonte).

Trabalhos de casa recomendados

1. Mordkovich A.G. Álgebra da 9ª série: Livro de problemas para estudantes de instituições de ensino geral / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina e outros - 4ª ed. - M .: Mnemosine, 2002.-143 p .: III. 355, 356, 364.

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